42，可以寫成3個(gè)整數(shù)的立方和!這是數(shù)學(xué)界的一大突破，由MIT和布里斯托大學(xué)的數(shù)學(xué)家共同發(fā)現(xiàn)，他們以“生命、宇宙以及一切”的網(wǎng)頁(yè)標(biāo)題，公布了這一成果。

人類第一次將42寫成了3個(gè)整數(shù)的立方和！

昨天，有人在 MIT 數(shù)學(xué)系的網(wǎng)站上貼出一個(gè)等式，網(wǎng)頁(yè)很簡(jiǎn)單，但沒(méi)給出結(jié)果：

(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

等于 42!

在推特上，菲爾茲獎(jiǎng)得主高爾斯也轉(zhuǎn)發(fā)了這個(gè)結(jié)果。

這是一個(gè)大新聞，因?yàn)橹链?，下面這句話成為了定理：

除了 9n±4 型自然數(shù)外，所有 100 以內(nèi)的自然數(shù)都能寫成三個(gè)整數(shù)的立方和。

是的，在此之前，42是100以內(nèi)最后一個(gè)尚未找到立方和的整數(shù)解的自然數(shù)。現(xiàn)在，這個(gè)解也找到了。

找到這個(gè)等式的數(shù)學(xué)家是來(lái)自布里斯托大學(xué)的 Andrew Booker 和來(lái)自麻省理工學(xué)院的Andrew Sutherland。

Andrew Booker是布里斯托大學(xué)數(shù)學(xué)教授

Andrew Sutherland是MIT數(shù)學(xué)系首席研究科學(xué)家

今年3月， Andrew Booker 找到了33的立方和整數(shù)解，同樣引起數(shù)學(xué)界轟動(dòng)。昨天，Andrew Booker穿著印有“42”的T恤接受采訪，解釋了他們的研究過(guò)程。

在被問(wèn)到“你們解決這個(gè)問(wèn)題后，有沒(méi)有興奮得跳起來(lái)”時(shí)，Booker說(shuō)：“我這次倒是沒(méi)有跳起來(lái)，但是你知道，解決一個(gè)三、四十年來(lái)一直懸而未決的問(wèn)題，實(shí)在是令人很滿足!當(dāng)然，這個(gè)論題本身還沒(méi)有解決，下一個(gè)數(shù)字是114……”

有意思的是，兩位數(shù)學(xué)家公布這一結(jié)果的網(wǎng)頁(yè)標(biāo)題是“生命、宇宙以及一切”(Life， the Universe and Everything)。

MIT的網(wǎng)頁(yè)截圖

在道格拉斯·亞當(dāng)斯著名的《銀河系漫游指南》系列中，42是“生命、宇宙以及一切的終極答案”。

茫茫宇宙中，一個(gè) “具有超級(jí)智慧的泛維度種族” 對(duì)關(guān)于生命意義的無(wú)休止的爭(zhēng)論感到厭煩了，他們決定一勞永逸地解決這個(gè)問(wèn)題。他們建造了宇宙一切空間和時(shí)間中第二強(qiáng)大的電腦 “沉思”，向它尋求 “關(guān)于生命、宇宙，以及一切的終極答案”。

整整 750 萬(wàn)年后，“沉思” 給出了答案 —42。

面對(duì)這個(gè)玄妙的答案，泛維度種族需要回過(guò)頭先弄明白生命宇宙以及一切的終極問(wèn)題，方能理解答案。但 “沉思” 不能勝任此項(xiàng)艱巨的任務(wù)，它說(shuō)：“你們需要一臺(tái)能夠計(jì)算出這個(gè)終極答案的電腦，這臺(tái)電腦具有無(wú)限和微妙的復(fù)雜性，以至于有機(jī)生命本身將會(huì)成為操作母體的一部分。你們自身也會(huì)以一種新的生命形式投入到這臺(tái)電腦中，去操控為期 1000 萬(wàn)年的程序。我將會(huì)為你們?cè)O(shè)計(jì)出這臺(tái)電腦，并且我已為它取好名字。它將會(huì)被稱為…… 地球。”

癡迷、癡狂!人類尋找三立方數(shù)和簡(jiǎn)史

人類為什么對(duì)這樣一個(gè)等式如此著迷呢?

這個(gè)問(wèn)題至少可以追溯到 1825 年，數(shù)學(xué)家想知道，如果給定整數(shù) K，是否存在整數(shù) X、Y、Z，滿足：

X^3 + Y^3 + Z^3 = K。

數(shù)論領(lǐng)域下有一大分支叫“丟番圖方程”：

x^3+y^3+z^3=k 是否存在整數(shù)解是丟番圖方程中的一個(gè)問(wèn)題。

丟番圖 (Diophantine) 是一位古希臘的大數(shù)學(xué)家，被認(rèn)為是第一位懂得使用符號(hào)代表數(shù)來(lái)研究問(wèn)題的人。

丟番圖和他的墓志銘

其中丟番圖最著名的事跡可能就是他的墓志銘 —— 曾經(jīng)連續(xù)多年出現(xiàn)在各地中小學(xué)生的寒假作業(yè)擴(kuò)展訓(xùn)練上：

墳中安葬著丟番圖。

多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，

又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，

再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子，

可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，

又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途。

回到丟番圖方程，由于立方數(shù)模 9 同余 0、1 或 – 1，三立方數(shù)和模 9 不可能同余 4 或 5，因而這是整數(shù)解存在的一個(gè)必要條件。因此9k+4或9k+5這種形式的整數(shù)不能寫成三個(gè)立方數(shù)之和。然而，對(duì)于該條件是否同時(shí)為充分條件目前仍未有定論。

1992年，牛津大學(xué)的Roger Heath-Brown提出猜想，即其它所有整數(shù)都可以用無(wú)窮多種不同的方式寫成三個(gè)立方體的和。在那以后，數(shù)學(xué)家們似乎已經(jīng)被Heath-Brown的論點(diǎn)所說(shuō)服，然而，找到把任何特定的數(shù)寫成三個(gè)立方體之和的方法仍然是一個(gè)難題。

2000年，哈佛大學(xué)的Noam Elkies提出了一個(gè)實(shí)用的算法來(lái)尋找這類解。Elkies和其他數(shù)學(xué)家使用類似的方法，成功地為許多較小的整數(shù)找到了立方和的整數(shù)解。

2015年，數(shù)學(xué)家Tim Browning錄制了一段視頻，解釋了這個(gè)問(wèn)題。在那個(gè)時(shí)候，只有33、42和74這三個(gè)小于100的整數(shù)尚未找到解。這段視頻讓更多的人注意到了這個(gè)問(wèn)題，并帶來(lái)了一系列的突破。

Tim Browning的視頻讓更多數(shù)學(xué)家關(guān)注這個(gè)問(wèn)題

受到這段視頻的啟發(fā)，幾個(gè)月后，Sander Huisman找到了74的立方和整數(shù)解：

Tim Browning再次錄制了一段關(guān)于Huisman解決74的視頻。另一位數(shù)學(xué)家，即布里斯托大學(xué)的Andrew Booker看到了這段視頻，決定解決這個(gè)問(wèn)題。

他提出了一種新的算法，這種算法能更有效地找到一個(gè)特定數(shù)字的解。2019年2月27日，Booker公布了33的立方和整數(shù)解。

昨天，42也被解決了!Andrew Sutherland和Andrew Booker同時(shí)更新他們的主頁(yè)，報(bào)告了42的立方和的整數(shù)解：

這意味著100以內(nèi)的自然數(shù)的立方和的整數(shù)解全部找到!

1000以內(nèi)還沒(méi)找到解的整數(shù)只剩下：114，165，390，579，627，633，732，906，921 和 975。

100 以內(nèi)三立方和的非零解全表

最后，附上 100 以內(nèi)三立方和的非零解全表(多種寫法選取其中一個(gè))：

1 = (-1)³ + 1³ + 1³

2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³

3 = 1³ + 1³ + 1³

4 不可能

5 不可能

6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³

7 = 104³ + 32³ + (-105)³

8 = (-1)³ + 1³ + 2³

9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³

10 = 1³ + 1³ + 2³

11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³

12 = 7³ + 10³ + (-11)³

13 不可能

14 不可能

15 = (-1)³ + 2³ + 2³

16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³

17 = 1³ + 2³ + 2³

18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³

19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³

20 = 1³ + (-2)³ + 3³

21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³

22 不可能

23 不可能

24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³

25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³

26 = 297³ + 161³ + (-312)³

27 = (-1)³ + 1³ + 3³

28 = 14³ + 13³ + (-17)³

29 = 1³ + 1³ + 3³

30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³

31 不可能

32 不可能

33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

34 = (-1)³ + 2³ + 3³

35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³

36 = 1³ + 2³ + 3³

37 = 50³ + 37³ + (-56)³

38 = 1³ + (-3)³ + 4³

39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³

40 不可能

41 不可能

42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

43 = 2³ + 2³ + 3³

44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³

45 = 2³ + (-3)³ + 4³

46 = (-2)³ + 3³ + 3³

47 = 6³ + 7³ + (-8)³

48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³

49 不可能

50 不可能

51 = 602³ + 659³ + (-796)³

52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³

53 = (-1)³ + 3³ + 3³

54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³

55 = 1³ + 3³ + 3³

56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³

57 = 1³ + (-2)³ + 4³

58 不可能

59 不可能

60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³

61 = 845³ + 668³ + (-966)³

62 = 3³ + 3³ + 2³

63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³

64 = (-1)³ + 1³ + 4³

65 = 91³ + 85³ + (-111)³

66 = 1³ + 1³ + 4³

67 不可能

68 不可能

69 = 2³ + (-4)³ + 5³

70 = 11³ + 20³ + (-21)³

71 = (-1)³ + 2³ + 4³

72 = 7³ + 9³ + (-10)³

73 = 1³ + 2³ + 4³

74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³

75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³

76 不可能

77 不可能

78 = 26³ + 53³ + (-55)³

79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³

80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³

81 = 10³ + 17³ + (-18)³

82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³

83 = (-2)³ + 3³ + 4³

84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³

85 不可能

86 不可能

87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³

88 = 3³ + (-4)³ + 5³

89 = 6³ + 6³ + (-7)³

90 = (-1)³ + 3³ + 4³

91 = 364³ + 192³ + (-381)³

92 = 1³ + 3³ + 4³

93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³

94 不可能

95 不可能

96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³

97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³

98 = 14³ + 9³ + (-15)³

99 = 2³ + 3³ + 4³

100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³