每一張形狀正圓、厚薄均勻、沒有破洞的煎餅，都凝聚了制作者對面糊流體力學的深入理解。最近，兩位物理學家通過數(shù)學建模，找到了攤出一張好煎餅的方法，并將這些發(fā)現(xiàn)寫進了論文中。

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煎餅果子是許多中國人喜愛的點心，法國人也對“法式煎餅”可麗餅愛得深沉。人們熱衷于按自己的口味給煎餅加上各種豐富的配料，但是好吃的煎餅一定有一個共同的特點：厚薄均勻、火候恰到好處、沒有破洞。

說起來容易做起來難。別看樓下賣早餐的大媽兩分鐘攤一張漂亮的餅，如果自己上手做，多半會發(fā)現(xiàn)——咦怎么不是圓的?怎么這里這么厚?怎么翻個面就破了?

為了做出完美的煎餅，法國巴黎綜合理工學院(École Polytechnique)的愛德華·布卓(Edouard Boujo)和新西蘭坎特伯雷大學(University of Canterbury)的馬修·塞利爾(Mathieu Sellier)研究了一番，終于找到了其中的奧義，順手在Physical Review Fluids發(fā)了篇論文(論文鏈接)。

把煎餅攤勻有多難？

攤煎餅方法可以簡單分為兩大流派：用推子之類的工具把面糊快速推開，或轉(zhuǎn)動平底鍋讓面糊自己攤開?；蛟S是想讓大多數(shù)非專業(yè)人士做起來更簡單，兩位作者把目光聚焦在了第二種方法上。

用推子攤煎餅，這種方法常見于街頭小攤。圖片來源：Pixabay

無論是可麗餅還是中式煎餅，加熱過程中都會發(fā)生一個重要的變化：水分隨加熱流失，導致面糊的黏度逐漸增加。許多人可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，如果在面糊剛剛下鍋的時候沒有及時把它攤平，它就會很快凝固，再也攤不平了;但是動作太快也不行，容易把餅弄破。

要攤一張厚薄均勻的圓形煎餅，難道只能“憑感覺”嗎?

如何科學地攤一張餅

作為流體力學領域的科學家，塞利爾和班卓決心從這一物理特性入手，利用數(shù)學建模計算，模擬了已成型的煎餅與還在流動的殘余面糊在受熱容器中的相互作用。這可是一項復雜而繁瑣的工作，但也比親手上鍋做實驗省時省力多了。更為關鍵的是，這樣做可以嚴格監(jiān)控每一個變量和細節(jié)。

他們嘗試了兩種方法，第一種是將面糊表面運動采用參數(shù)化的諧波方程描述，并采用蒙特卡洛方法“暴力求解”，找出最優(yōu)的參數(shù)組合。這里要考慮的參數(shù)就有十個，包括面糊黏度、密度、鍋的傾斜角、半徑、面糊初始厚度等等。

對煎餅的數(shù)學建模。如圖，從上到下，從左到右，從 t=0到 t=7?t 之間面糊發(fā)生的變化，?t = 4.29 s。右側(cè)顏色梯度代表面糊厚度，深藍色的部分面糊最薄，淺藍色至紅色部分面糊越來越厚。圖中箭頭方向代表每個瞬間的重力方向。圖片來源：Boujo and Sellier，Phys。 Rev。 Fluids， 2019

計算機在設定的參數(shù)范圍內(nèi)進行了大量計算，攤了無數(shù)個虛擬煎餅，終于找到了改善面糊均勻性的方法。相比不控制參數(shù)的情況(可能指的是他們在現(xiàn)實中制作的早餐)，這種方法能將煎餅的均勻性提升大約 40%。考慮到背后的海量計算工作，這種方法性價比確實不高。

于是，他們又嘗試了另一種方法。這是一種叫做伴隨優(yōu)化的數(shù)學算法：將面糊最終形態(tài)作為目標函數(shù)，對面糊施加作用力而導致的運動被描述為一系列偏微分方程，以提供約束條件，在此基礎上對目標函數(shù)進行優(yōu)化，尋找使面糊均勻平坦的最優(yōu)路徑和方法。

在這個案例中，伴隨優(yōu)化算法完勝蒙特卡洛方法，它用更少的計算量實現(xiàn)了更大的性能提升。在該算法的幫助下，塞利爾和班卓獲得了黏度變化的面糊在移動容器中的流動及成形特征。經(jīng)過多次的調(diào)整和模擬，他們終于找到了制作可麗餅的最佳方法，能讓餅的均勻程度提升 83%。

如圖，圖 (a) 為不加控制的對照組，圖 (b) 為諧波優(yōu)化-蒙特卡洛方法得到的結(jié)果，圖 (c) 和 (d)為用伴隨優(yōu)化算法得到的結(jié)果，其中力度控制參數(shù)不同。從圖 (a) 到圖 (d)，煎餅越來越均勻。圖片來源：Boujo and Sellier，Phys。 Rev。 Fluids， 2019

攤煎餅的終極奧義

總而言之，在充分比較了非控制組、協(xié)調(diào)方程-蒙特卡洛解法以及伴隨優(yōu)化求解法的最終結(jié)果后，研究人員找到了一個實用的攤煎餅方法：

將攤一張餅所需的面糊一次性倒入平底鍋，然后迅速將鍋傾斜一個角度;面糊會流向鍋的邊緣，接著順時針或逆時針將鍋轉(zhuǎn)動一到兩圈，使未凝固的面糊自然流動、成形。

根據(jù)伴隨優(yōu)化算法，隨著面糊逐漸受熱凝固，平底鍋的傾角應該逐漸減小，轉(zhuǎn)動速度也要放慢。在理想情況下，當傾角減小到零，也就是鍋處于水平位置的時候，面糊剛好完全覆蓋鍋底。

需要注意的是，一定要始終沿著同一個方向轉(zhuǎn)動鍋，切忌在轉(zhuǎn)動過程中變換方向。

這種方法有個酷炫的名字：重力驅(qū)動液態(tài)膜的最優(yōu)控制。這一技術不僅能用來做早餐，還能應用到巧克力制造、涂層工藝和彈性薄殼制造等領域，而彈性薄殼在航空航天、船舶制造等方面都有重要應用。誰能想到，對美好早餐的追求也能推動工程技術的小小進步呢?