在忽略機器性能的基礎(chǔ)上我們用算法時間復(fù)雜度來衡量算法執(zhí)行的時間。
1、時間頻度
一個算法執(zhí)行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。并且一個算法花費的時間與算法中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，哪個算法中語句執(zhí)行次數(shù)多，它花費時間就多。一個算法中的語句執(zhí)行次數(shù)稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。
2、時間復(fù)雜度
在剛才提到的時間頻度中，n稱為問題的規(guī)模，當(dāng)n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現(xiàn)什么規(guī)律。為此，我們引入時間復(fù)雜度概念。

一般情況下，算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是問題規(guī)模n的某個函數(shù)，用T(n)表示，若有某個輔助函數(shù)f(n),使得當(dāng)n趨近于無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱f(n)是T(n)的同數(shù)量級函數(shù)。記作T(n)=O(f(n)),稱O(f(n)) 為算法的漸進(jìn)時間復(fù)雜度，簡稱時間復(fù)雜度。

在各種不同算法中，若算法中語句執(zhí)行次數(shù)為一個常數(shù)，則時間復(fù)雜度為O(1),另外，在時間頻度不相同時，時間復(fù)雜度有可能相同，如T(n)=n^2+3n+4與T(n)=4n^2+2n+1它們的頻度不同，但時間復(fù)雜度相同，都為O(n^2)。
按數(shù)量級遞增排列，常見的時間復(fù)雜度有：
常數(shù)階O(1),對數(shù)階O(log2n)(以2為底n的對數(shù)，下同),線性階O(n),
線性對數(shù)階O(nlog2n),平方階O(n^2)，立方階O(n^3),…，
k次方階O(n^k),指數(shù)階O(2^n)。隨著問題規(guī)模n的不斷增大，上述時間復(fù)雜度不斷增大，算法的執(zhí)行效率越低。
算法的時間性能分析
（1）算法耗費的時間和語句頻度

一個算法所耗費的時間=算法中每條語句的執(zhí)行時間之和

每條語句的執(zhí)行時間=語句的執(zhí)行次數(shù)(即頻度(Frequency Count))×語句執(zhí)行一次所需時間

算法轉(zhuǎn)換為程序后，每條語句執(zhí)行一次所需的時間取決于機器的指令性能、速度以及編譯所產(chǎn)生的代碼質(zhì)量等難以確定的因素。

若要獨立于機器的軟、硬件系統(tǒng)來分析算法的時間耗費，則設(shè)每條語句執(zhí)行一次所需的時間均是單位時間，一個算法的時間耗費就是該算法中所有語句的頻度之和。
求兩個n階方陣的乘積 C=A×B,其算法如下:

　　# define n 100 // n 可根據(jù)需要定義,這里假定為100 　　void MatrixMultiply(int A[a]，int B [n][n]，int C[n][n]) 　　{ //右邊列為各語句的頻度 　　int i ,j ,k; 　　 for(i=0; i<n;j++) n+1 　　 for (j=0;j<n;j++) { n(n+1) 　　 C[i][j]=0; n 　　 for (k=0; k<n; k++) nn(n+1) 　　 C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];n 　　} 　　}

該算法中所有語句的頻度之和(即算法的時間耗費)為：

T(n)=nn(n+1) (1.1)

分析：

語句(1)的循環(huán)控制變量i要增加到n，測試到i=n成立才會終止。故它的頻度是n+1。但是它的循環(huán)體卻只能執(zhí)行n次。語句(2)作為語句(1)循環(huán)體內(nèi)的語句應(yīng)該執(zhí)行n次，但語句(2)本身要執(zhí)行n+1次，所以語句(2)的頻度是n(n+1)。同理可得語句(3)，(4)和(5)的頻度分別是n，nn(n+1)和n。

算法MatrixMultiply的時間耗費T(n)是矩陣階數(shù)n3的函數(shù)。

（2）問題規(guī)模和算法的時間復(fù)雜度
算法求解問題的輸入量稱為問題的規(guī)模(Size),一般用一個整數(shù)表示。

矩陣乘積問題的規(guī)模是矩陣的階數(shù)。

一個圖論問題的規(guī)模則是圖中的頂點數(shù)或邊數(shù)。

一個算法的時間復(fù)雜度(Time Complexity, 也稱時間復(fù)雜性)T(n)是該算法的時間耗費，是該算法所求解問題規(guī)模n的函數(shù)。當(dāng)問題的規(guī)模n趨向無窮大時，時間復(fù)雜度T(n)的數(shù)量級(階)稱為算法的漸進(jìn)時間復(fù)雜度。

算法MatrixMultidy的時間復(fù)雜度T(n)如(1.1)式所示，當(dāng)n趨向無窮大時，顯然有T(n)~O(n3);

這表明，當(dāng)n充分大時，T(n)和n3之比是一個不等于零的常數(shù)。即T(n)和n3是同階的，或者說T(n)和n3的數(shù)量級相同。記作T(n)=O(n3)是算法MatrixMultiply的漸近時間復(fù)雜度。

（3）漸進(jìn)時間復(fù)雜度評價算法時間性能

主要用算法時間復(fù)雜度的數(shù)量級(即算法的漸近時間復(fù)雜度)評價一個算法的時間性能。
算法MatrixMultiply的時間復(fù)雜度一般為T(n)=O(n3)，f(n)=n3是該算法中語句(5)的頻度。下面再舉例說明如何求算法的時間復(fù)雜度。

交換i和j的內(nèi)容。

Temp=i; i=j; j=temp;

　　以上三條單個語句的頻度均為1，該程序段的執(zhí)行時間是一個與問題規(guī)模n無關(guān)的常數(shù)。算法的時間復(fù)雜度為常數(shù)階，記作T(n)=O(1)?！　?br />注意：如果算法的執(zhí)行時間不隨著問題規(guī)模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執(zhí)行時間也不過是一個較大的常數(shù)。此類算法的時間復(fù)雜度是O(1)。
變量計數(shù)之一：

　　 x=0;y=0; 　　 for(k-1;k<=n;k++) 　　 x++; 　　 for(i=1;i<=n;i++) 　　 for(j=1;j<=n;j++) 　　 y++;

一般情況下，對步進(jìn)循環(huán)語句只需考慮循環(huán)體中語句的執(zhí)行次數(shù)，忽略該語句中步長加1、終值判別、控制轉(zhuǎn)移等成分。因此，以上程序段中頻度最大的語句是(6)，其頻度為f(n)=n2，所以該程序段的時間復(fù)雜度為T(n)=O(n2)。

當(dāng)有若干個循環(huán)語句時，算法的時間復(fù)雜度是由嵌套層數(shù)最多的循環(huán)語句中最內(nèi)層語句的頻度f(n)決定的。

變量計數(shù)之二：

x=1; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x++;

該程序段中頻度最大的語句是(5)，內(nèi)循環(huán)的執(zhí)行次數(shù)雖然與問題規(guī)模n沒有直接關(guān)系，但是卻與外層循環(huán)的變量取值有關(guān)，而最外層循環(huán)的次數(shù)直接與n有關(guān)，因此可以從內(nèi)層循環(huán)向外層分析語句(5)的執(zhí)行次數(shù)：

則該程序段的時間復(fù)雜度為T(n)=O(n3/6+低次項)=O(n3)。

（4）算法的時間復(fù)雜度不僅僅依賴于問題的規(guī)模，還與輸入實例的初始狀態(tài)有關(guān)。

在數(shù)值A(chǔ)[0..n-1]中查找給定值K的算法大致如下：

i=n-1; while(i>=0&&(A[i]!=k))  i--; return i;

此算法中的語句(3)的頻度不僅與問題規(guī)模n有關(guān)，還與輸入實例中A的各元素取值及K的取值有關(guān):

①若A中沒有與K相等的元素，則語句(3)的頻度f(n)=n；

②若A的最后一個元素等于K,則語句(3)的頻度f(n)是常數(shù)0。